设函数f(x)在[0,1]二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f’’(ξ)|≥4.

admin2018-06-27  34

问题 设函数f(x)在[0,1]二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f’’(ξ)|≥4.

选项

答案把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式,得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f’’(ξ1)x2 (0<ξ1<x), f(x)=f(1)+f’(1)(x-1)+[*]f’’(ξ2)(x-1)2(x<ξ2<1). 在公式中取x=[*]并利用题设可得 [*] 两式相减消去未知的函数值[*]即得f’’(ξ1)-f’’(ξ2)=8[*]|f’’(ξ1)|+|f’’(ξ2)|≥8. 故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4,把该点取为ξ,就有ξ∈(0,1)使 |f’’(ξ)|≥4.

解析
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