设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. 证明:β,Aβ,A2β线性无关;

admin2019-07-19  37

问题 设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α123
证明:β,Aβ,A2β线性无关;

选项

答案设 k1β+k2Aβ+k3A2β, ① 由题设Aαiiαi(i=1,2,3),于是 Aβ=Aα1+Aα2+Aα31α12α23α3, [*] 代入①式整理得 [*] 因为α1,α2,α3是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有 [*] 其系数行列式[*],必有k1=k2=k3=0,故β,Aβ,A2β线性无关.

解析
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