2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． 证明：β，Aβ，A2β线性无关；

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． 证明：β，Aβ，A2β线性无关；

admin2019-07-19  69
问题 设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．
证明：β，Aβ，A2β线性无关；
选项
答案设 k1β+k2Aβ+k3A2β， ① 由题设Aαi=λiαi(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3， [*] 代入①式整理得 [*] 因为α1，α2，α3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*] 其系数行列式[*]，必有k1=k2=k3=0，故β，Aβ，A2β线性无关．
解析
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考研数学一

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