设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．证明：β，Aβ，A2β线性无关；

admin2019-07-19 61

问题设A为3阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃．
证明：β，Aβ，A²β线性无关；

选项

答案设 k₁β+k₂Aβ+k₃A²β， ① 由题设Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， [*] 代入①式整理得 [*] 因为α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*] 其系数行列式[*]，必有k₁=k₂=k₃=0，故β，Aβ，A²β线性无关．

解析

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