设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0。证明：存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)＝－3f(η)g’(η)。

admin2019-12-24 30

问题设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0。证明：
存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)＝－3f(η)g’(η)。

选项

答案令h(x)＝f(x)e^3g(x)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以h(a)＝h(b)＝0，根据罗尔定理，存在一点η∈(a，b)，使得h’(η)＝0，而h’(x)＝e^3g(x)[f’(x)＋3f(x)g’(x)]且e^3g(x)≠0，所以f’(η)＝－3f(η)g’(η)。

解析

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考研数学三

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