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已知抛物线y=ax2+bx+c经过点P(1,2),且在该点与圆相切,有相同的曲率半径和凹凸性,求常数a,b,c.
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点P(1,2),且在该点与圆相切,有相同的曲率半径和凹凸性,求常数a,b,c.
admin
2018-06-27
48
问题
已知抛物线y=ax
2
+bx+c经过点P(1,2),且在该点与圆
相切,有相同的曲率半径和凹凸性,求常数a,b,c.
选项
答案
圆[*],所以在圆上任何一点的曲率为[*].由于点P(1,2)是下半圆上的一点,可知曲线[*]在点P(1,2)处为凹的,所以由[*]确定的连续函数y=y(x)在P(1,2)处的y’’>0.又经过计算,可知在点P(1,2)处的y’=1. 由题设条件知,抛物线经过点P(1,2),于是有 a+b+c=2. 抛物线与圆在点P(1,2)相切,所以在点P(1,2)处y’=1,即有2a+b=1.又抛物线与圆在点P(1,2)有相同的曲率半径及凹凸性,因此有 [*] 解得a=2,从而b=-3,c=2-a-b=3.
解析
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考研数学二
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