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设y=f(x)在(1,1)邻域有连续二阶导数,曲线y=f(x)在点P(1,1)处的曲率圆方程为x2+y2=2,则f’’(1)=__________.
设y=f(x)在(1,1)邻域有连续二阶导数,曲线y=f(x)在点P(1,1)处的曲率圆方程为x2+y2=2,则f’’(1)=__________.
admin
2014-08-19
52
问题
设y=f(x)在(1,1)邻域有连续二阶导数,曲线y=f(x)在点P(1,1)处的曲率圆方程为x
2
+y
2
=2,则f
’’
(1)=__________.
选项
答案
一2
解析
【分析一】y=f(x)存点P处的切线与
。垂直
斜率为1→f
’
(1)=一1.点P处y=f(x)的曲率半径为
,故曲线y=f(x)在点P处的曲率为
于是按曲率计算公式→
由于曲率中心在曲线y=f(x)凹的一侧→f
’’
(1)<0(y=f(x)在(1,1)邻域是凸的).因此f
’’
(1)=一2.
【分析二】曲率圆x
2
+y
2
=2在(1,1)邻域确定y=y(x)(y(1)=1),y=f(x)与y=y(x)在x=1有相同的二阶导数.现由x
2
+y
2
=2→2x+2yy
’
=0,即x+yy
’
=0令x=1,y=1→y
’
(1)=一1,又1+y
12
+yy
’’
=0令x=1,y=1,y
’
=一1=→y
’’
(1)=一2.因此f
’’
(1)=y
’’
(1)=一2.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Nk34777K
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考研数学二
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