2. 考研
  3. 讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数．

讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数．

admin2021-01-19  53
问题 讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数．
选项
答案令φ(x)=ln4x+ 4x一4lnx一k 则 [*] 显然φ’(1)=0． 当0＜x＜1时，φ’(x)＜0，φ(x)单调减少； 当x＞1时，φ’(x)＞0，φ(x)单调增加． 故φ(1)=4一k为φ(x)在(0，+∞)上的最小值．所以 当k＜4，即4一k＞0时，φ(x)=0无实根，那两条曲线无交点； 当k=4，即4一k =0时，φ(x)=0有唯一实根，即两条曲线有唯一交点， 当k＞4，即4一k＜0时，由于 [*] 故φ(x)=0有两个实根，分别位于(0，1)与(1，+∞)内，即两条曲线有两个交点．
解析 求两曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数的问题等价于确定方程4lnx+k=4x+ln4x有几个实根．而方程ln4 x+4x一4lnx一k=0中含有参数k，此时，一般将方程左端的函数令为φ(x)，然后求φ(x)的极值，再利用连续函数介值定理及φ(x)的单调性确定方程根的个数．
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考研数学二

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