设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:

admin2021-11-09  31

问题 设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:

选项

答案这里m=1,求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh)(0<θ<1)当h→0时中值θ的极限.为解出θ,按题中条件,将f’(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得 f’(x0+θh)=f’(x0)+f’’(x0)θh+[*]f(3)(x0)(θh)2+…+[*]f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1) =f’(x0)+[*]f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0), 代入原式得 (x0+h)-f(x0)=hf’(x0)+[*]f(n)(x0n-1hn+o(hn) ① 再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)h+…+[*]f(n)(x0)hb+o(hn) =f’(x0)h+[*]f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0), ② 将②代入①后两边除以hn得 [*] 令h→0,得 [*]

解析
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