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设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:
设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:
admin
2021-11-09
45
问题
设f(x)在(x
0
-δ,x
0
+δ)有n阶连续导数,且f
(k)
(
0
)=0,k=2,3,…,n-1;f
(n)
(x
0
)≠0.当0<|h|<δ时,f(x
0
+h)=f(x
0
)=hf’(x
0
+θh),(0<θ<1).求证:
选项
答案
这里m=1,求的是f(x
0
+h)-f(x
0
)=hf’(x
0
+θh)(0<θ<1)当h→0时中值θ的极限.为解出θ,按题中条件,将f’(x
0
+θh)在x=x
0
展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得 f’(x
0
+θh)=f’(x
0
)+f’’(x
0
)θh+[*]f
(3)
(x
0
)(θh)
2
+…+[*]f
(n)
(x
0
)(θh)
n-1
+o(h
n-1
) =f’(x
0
)+[*]f
(n)
(x
0
)(θh)
n-1
+o(h
n-1
)(h→0), 代入原式得 (x
0
+h)-f(x
0
)=hf’(x
0
)+[*]f
(n)
(x
0
)θ
n-1
h
n
+o(h
n
) ① 再将f(x
0
+h)在x=x
0
展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(x
0
+h)-f(x
0
)=f’(x
0
)h+…+[*]f
(n)
(x
0
)h
b
+o(h
n
) =f’(x
0
)h+[*]f
(n)
(x
0
)h
n
+o(h
n
)(h→0), ② 将②代入①后两边除以h
n
得 [*] 令h→0,得 [*]
解析
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0
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