[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，依概率收敛于__________．

admin2021-01-25 81

问题 [2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，

依概率收敛于__________．

选项

答案1／2

解析解一  利用辛钦大数定律求之．由于X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机变量样本，X₁，X₂，…，X_n相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而由命题3．3．5．1(3)知X₁²，X₂²，…，X_n²也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故
               E(X_i)=E(X)=1／2，D(X_i)=D(X)=(1／2)²=1／4  (i=1，2，…，n)，
则 E(X_i²)=D(X_i)+[E(X_i)]²=1／4+(1／2)²=2／4=1／2  (i=1，2，…，n)．
根据辛钦大数定律知，一组相互独立组同分布，数学期望存在的随机变量X₁，X₂，…，X_n，其算术平均值依概率收敛于数学期望：