设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则

admin2018-07-31  19

问题 设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则

选项 A、当m>n时,必有行列式|AB|≠0.
B、当m>n时,必有行列式|AB|=0.
C、当n>m时,必有行列式|AB|≠0.
D、当n>m时,必有行列式|AB|=0.

答案B

解析 当m>n时,m×n矩阵A的行向量组线性相关,故A的行向量组中至少有一行可由其它行向量组性表出,不妨设A的第1行可由A的其它行向量线性表出,因此,可通过初等行变换将A的第1行化成零行,即存在可逆矩阵Pm×n,使得PA的第1行为零行,于是PAB的第1行为零行,→|PAB|=0,即|P||AB=0.
又|P|≠0,故得|AB|=0.
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