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  3. [2003年] 设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩（A）≥秩（B）； ②若秩（A）≥秩（B），则AX=0的解均是BX=0的解； ③若AX=0与BX=0同解，则秩（A）=秩

[2003年] 设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩（A）≥秩（B）； ②若秩（A）≥秩（B），则AX=0的解均是BX=0的解； ③若AX=0与BX=0同解，则秩（A）=秩

admin2019-04-08  57
问题 [2003年]  设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：
①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩（A）≥秩（B）；
②若秩（A）≥秩（B），则AX=0的解均是BX=0的解；
③若AX=0与BX=0同解，则秩（A）=秩（B）；
④若秩（A）=秩（B），则AX=0与BX=0同解．
以上命题中正确的是(    )．
选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④
答案B
解析 仅B入选．命题③正确．又命题①也正确．这是因为AX=0的解均是BX=0的解，则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分，因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数，即n一秩（A）≤n一秩（B），秩（A）≥秩（B）．
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考研数学一

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