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设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a,b)使|f”(ξ)|≥|f(x)|。
设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a,b)使|f”(ξ)|≥|f(x)|。
admin
2019-01-19
48
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a,b)使|f”(ξ)|≥
|f(x)|。
选项
答案
(1)若f(x)≡0,则结论显然成立; (2)设|f(x
0
)|=[*]|f(x)|,x
0
∈(a,b),即函数f(x)在x=x
0
处取得最大值。又因为f(x)在[a,b]上二阶可导,则有f(x
0
)=0。将函数f(x)在x=x处展成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式,即 f(x)=f(x
0
)+f(x
0
)(x一x
0
)+[*](x一x
0
)
2
,η=x
0
+θ(x一x
0
),0<θ<1。 由于f(a)=0,故将x=a代入上式可得 0=f(a)=f(x
0
)+f'(x
0
)(a一x
0
)+[*](a一x
0
)
2
, 即 f|"(ξ
1
)|=[*],a<ξ
1
<x
0
。 同理,有0=f(b)=f(x
0
)+f(x)(b一x
0
)+[*](b一x
0
)
2
, 即 |f"(ξ
2
)|=[*],x
0
<ξ
2
<b
0
。 令|f"(ξ)|=[*]|f"(x)|,则 |f"(ξ)|=[*]=[|f"(ξ
1
)|+|f"(ξ
2
)|] =|f(x
0
)|[*] ≥|f(x
0
)|[*] 当且仅当x
0
=[*]时,不等式中的等号成立。 故存在ξ使得 |f"(ξ)|≥[*]|f(x
0
)|, 即 |f"(ξ)|≥[*]|f(x)|。
解析
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考研数学三
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