设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a,b)使|f”(ξ)|≥|f(x)|。

admin2019-01-19  48

问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a,b)使|f”(ξ)|≥|f(x)|。

选项

答案(1)若f(x)≡0,则结论显然成立; (2)设|f(x0)|=[*]|f(x)|,x0∈(a,b),即函数f(x)在x=x0处取得最大值。又因为f(x)在[a,b]上二阶可导,则有f(x0)=0。将函数f(x)在x=x处展成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式,即 f(x)=f(x0)+f(x0)(x一x0)+[*](x一x0)2,η=x0+θ(x一x0),0<θ<1。 由于f(a)=0,故将x=a代入上式可得 0=f(a)=f(x0)+f'(x0)(a一x0)+[*](a一x0)2, 即 f|"(ξ1)|=[*],a<ξ1<x0。 同理,有0=f(b)=f(x0)+f(x)(b一x0)+[*](b一x0)2, 即 |f"(ξ2)|=[*],x0<ξ2<b0。 令|f"(ξ)|=[*]|f"(x)|,则 |f"(ξ)|=[*]=[|f"(ξ1)|+|f"(ξ2)|] =|f(x0)|[*] ≥|f(x0)|[*] 当且仅当x0=[*]时,不等式中的等号成立。 故存在ξ使得 |f"(ξ)|≥[*]|f(x0)|, 即 |f"(ξ)|≥[*]|f(x)|。

解析
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