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(10年)设A=,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.
(10年)设A=,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.
admin
2017-05-26
75
问题
(10年)设A=
,正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵.若Q的第1列为
(1,2,1)
T
,求a,Q.
选项
答案
由题设,ξ=(1,2,1)
T
为A的一个特征向量,于是有Aξ=λ
1
ξ,即 [*] 解得λ
1
=2,a=-1.所以A=[*] 由A的特征方程 [*] 得A的特征值为2,5,-4. 对于特征值5,求齐次线性方程组(5I-A)χ=0的基础解系,由 [*] 得通解χ
1
=χ
3
,χ
2
=-χ
3
(χ
3
任意).令χ
3
=1,得基础解系为(1,-1,1)
T
,将其单位化,得属于特征值5的一个单位特征向量为[*](1,-1,1)
T
. 同理可求得属于特征值-4的一个单位特征向量为[*](-1,0,1)
T
. [*] 故Q为所求的正交矩阵.
解析
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考研数学三
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