(10年)设A=,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.

admin2017-05-26  30

问题 (10年)设A=,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.

选项

答案由题设,ξ=(1,2,1)T为A的一个特征向量,于是有Aξ=λ1ξ,即 [*] 解得λ1=2,a=-1.所以A=[*] 由A的特征方程 [*] 得A的特征值为2,5,-4. 对于特征值5,求齐次线性方程组(5I-A)χ=0的基础解系,由 [*] 得通解χ1=χ3,χ2=-χ33任意).令χ3=1,得基础解系为(1,-1,1)T,将其单位化,得属于特征值5的一个单位特征向量为[*](1,-1,1)T. 同理可求得属于特征值-4的一个单位特征向量为[*](-1,0,1)T. [*] 故Q为所求的正交矩阵.

解析
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