2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f（1）＞0，，证明： 方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．

设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f（1）＞0，，证明： 方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．

admin2022-09-08  8
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f（1）＞0，，证明：
方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．
选项
答案令F(x)=f(x)f’(x)，则F’(x)=f(x)f”(x)+[f’(x)]2，又[*]存在，且分母趋于零，故[*]。 　　又f(ξ)=0，由罗尔定理知，[*]，使f’(η)=0， 　　则 F(0)=f(0)f’(0)=0，F(η)=f(η)，f’(η)=0，F(ξ)=f(ξ)f’(ξ)=0． 　　由罗尔定理知，[*]，使得F’(η1)=0；存在η2∈(η，ξ)，使得F’(η2)=0， 　　即η1和η2是方程F’(x)=f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0的两个不同的实根，得证．
解析
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考研数学一

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