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设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,,证明: 方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,,证明: 方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
admin
2022-09-08
4
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,
,证明:
方程f(x)f”(x)+[f’(x)]
2
=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
选项
答案
令F(x)=f(x)f’(x),则F’(x)=f(x)f”(x)+[f’(x)]
2
,又[*]存在,且分母趋于零,故[*]。 又f(ξ)=0,由罗尔定理知,[*],使f’(η)=0, 则 F(0)=f(0)f’(0)=0,F(η)=f(η),f’(η)=0,F(ξ)=f(ξ)f’(ξ)=0. 由罗尔定理知,[*],使得F’(η
1
)=0;存在η
2
∈(η,ξ),使得F’(η
2
)=0, 即η
1
和η
2
是方程F’(x)=f(x)f”(x)+[f’(x)]
2
=0的两个不同的实根,得证.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/F6e4777K
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考研数学一
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