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设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3,且秩r(A)=1,β=(-1,2,2)T. 求Anβ;
设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3,且秩r(A)=1,β=(-1,2,2)T. 求Anβ;
admin
2019-12-26
12
问题
设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3,且秩r(A)=1,β=(-1,2,2)
T
.
求A
n
β;
选项
答案
由已知A的特征值λ
1
=3,其对应的一个特征向量为α
1
=(1,1,1)
T
,又由r(A)=1,且A可相似对 角化知A有二重特征值λ
2
=λ
3
=0.设其对应的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,于是有(x,α
1
)=0,即有x
1
+x
2
+x
3
=0, 解得λ
2
=λ
3
=0对应的特征向量为 [*] 取α
2
=(-1,1,0)
T
,α
3
=(-1,0,1)
T
,显然α
1
,α
2
,α
3
线性无关,于是β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即x
1
α
1
+x
2
α
2
+ x
3
α
3
=β,解得x
1
=1,x
2
=1,x
3
=1. 故α
1
+α
2
+α
3
=β,所以 A
n
β=A
n
(α
1
+α
2
+α
3
)=A
n
α
1
+A
n
α
2
+A
n
α
3
=λ
1
n
α
1
+λ
2
n
α
2
+λ
3
n
α
3
=3
n
α
1
=(3
n
,3
n
,3
n
)
T
.
解析
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0
考研数学三
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