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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y21+y22，且Q的第3列为 求矩阵A；

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y21+y22，且Q的第3列为 求矩阵A；

admin2020-04-30  37
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y21+y22，且Q的第3列为
求矩阵A；
选项
答案由题设知A的特征值为1，1，0．且α=(1，0，1)T是属于A的特征值0对应的一个特征向量．设x=(x1，x2，x3)T为A的属于特征值1的特征向量，由于A的不同的特征值所对应的特征向量正交，所以有(x，α)=0，即x1+x3=0，解该方程组的基础解系ξ1=(1，0，-1)T，ξ2=(0，1，0)T，将其单位化，并将其取为A的属于特征值1对应的正交单位的特征向量， [*] 令 [*] 从而， [*]
解析 本题考查抽象二次型化标准形的逆问题，由正交变换下的标准形与二次型对应的矩阵A的特征值的关系，求A．再由正定矩阵的定义判定A+E的正定性．
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考研数学一

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