若f(x)∈C[1,+∞)内可导,f(1)<0,f’(x)≥k>0,则在(1,+∞)内f(x)=0( )。

admin2019-05-27  37

问题 若f(x)∈C[1,+∞)内可导,f(1)<0,f’(x)≥k>0,则在(1,+∞)内f(x)=0(   )。

选项 A、至少有一个根
B、只有一根
C、没有根
D、有无根无法确定

答案B

解析 当x>1时,由f(x)-f(1)=f’(ξ)(x-1)≥k(x-1)得f(x)≥f(1)+k(x-1),于是
因为f(x)在[1,+∞)上连续且f(1)<0,所以f(x)=0在(1,+∞)上至少有一个根;
又因为f’(x)≥k>0,所以f(x)单调增加,于是f(x)=0在(1,+∞)内有且仅有一个根,选B。
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