设f(x)在(-a,a)(a>0)内连续,且f’(0)=2. 证明:对于0<x<a,存在0<θ<1,使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)].

admin2021-11-25  30

问题 设f(x)在(-a,a)(a>0)内连续,且f’(0)=2.
证明:对于0<x<a,存在0<θ<1,使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)].

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt,显然F(x)在[0,x]上可导,且F(0)=0,由微分中值定理,存在0<θ<1,使得F(x)=F(x)-F(0)=F’(θx)x,即 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)].

解析
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