2. 考研
  3. 设f(x)在（－a,a）（a＞0)内连续，且f’(0)=2. 证明：对于0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)].

设f(x)在（－a,a）（a＞0)内连续，且f’(0)=2. 证明：对于0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)].

admin2021-11-25  67
问题 设f(x)在（－a,a）（a＞0)内连续，且f’(0)=2.
证明：对于0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)].
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt,显然F(x)在[0,x]上可导，且F(0)=0,由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)－F(0)=F’(θx)x,即 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)].
解析
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考研数学二

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