设f(x)在（－a,a）（a＞0)内连续，且f’(0)=2. 证明：对于0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)].

admin2021-11-25 36

问题设f(x)在（－a,a）（a＞0)内连续，且f’(0)=2.
证明：对于0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)].

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt,显然F(x)在[0,x]上可导，且F(0)=0,由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)－F(0)=F’(θx)x,即 ∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)].

解析

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考研数学二

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