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设f(x)在(-a,a)(a>0)内连续,且f’(0)=2. 证明:对于0<x<a,存在0<θ<1,使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)].
设f(x)在(-a,a)(a>0)内连续,且f’(0)=2. 证明:对于0<x<a,存在0<θ<1,使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)].
admin
2021-11-25
27
问题
设f(x)在(-a,a)(a>0)内连续,且f’(0)=2.
证明:对于0<x<a,存在0<θ<1,使得∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)].
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt,显然F(x)在[0,x]上可导,且F(0)=0,由微分中值定理,存在0<θ<1,使得F(x)=F(x)-F(0)=F’(θx)x,即 ∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)].
解析
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考研数学二
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