2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A的属于特征值6的特征向量． 求A的另一特征值和对应的特征向量；

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A的属于特征值6的特征向量． 求A的另一特征值和对应的特征向量；

admin2016-01-11  65
问题 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A的属于特征值6的特征向量．
求A的另一特征值和对应的特征向量；
选项
答案由r(A)=2，所以A的另一特征值λ3=0． 设属于λ3=0的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则有α3Tx=0． α2Tx=0． 即[*] 解得此方程组的基础解系为(一1，1，1)T，即A的属于特征值λ3=0的全部特征向量为kx=k(一1，1，1)T(k为任意非零常数)．
解析 本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由A的特征值和特征向量，如何求A．本题不仅要求考生知道实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交这一事实，还要求考生能够正确地求解可逆矩阵的逆矩阵．由r(A)=2，可知A的另一特征值为λ3=0．由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，求出属于特征值0的特征向量，于是可求出矩阵A．也可以根据特征向量的定义以及矩阵的迹等于特征值之和求A．
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考研数学二

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