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设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
admin
2019-08-12
48
问题
设λ
1
,λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,则α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是( )
选项
A、λ
1
≠0。
B、λ
2
≠0。
C、λ
1
=0。
D、λ
2
=0。
答案
B
解析
方法一:设k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0,由题设条件得(k
1
+λ
1
k
2
)α
1
+λ
2
k
2
α
2
=0,由于α
1
,α
2
是属于A的不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
线性无关,从而
所以,α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关
k
1
=k
2
=0
行列式
≠0,故选B。
方法二:由于(α
1
,A(α
1
+α
2
))=(α
1
,λ
1
α
1
+λ
2
α
2
)=(α
1
,α
2
)
,故α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关,即(α
1
,A(α
1
+α
2
))的秩为2的充要条件为
≠0,即λ
2
≠0,故选B。
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考研数学二
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