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设A3×3=(α1,α2,α3),方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1,2,-3)T+(2,-1,1)T,其中k是任意常数.证明: 方程组(α1,α2)x=β有唯一解,并求该解;
设A3×3=(α1,α2,α3),方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1,2,-3)T+(2,-1,1)T,其中k是任意常数.证明: 方程组(α1,α2)x=β有唯一解,并求该解;
admin
2018-07-23
74
问题
设A
3×3
=(α
1
,α
2
,α
3
),方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1,2,-3)
T
+(2,-1,1)
T
,其中k是任意常数.证明:
方程组(α
1
,α
2
)x=β有唯一解,并求该解;
选项
答案
由题设条件(α
1
,α
2
,α
3
)x=β有通解k(1,2,-3)
T
+(2,-1,1)
T
,知 r(α
1
,α
2
,α
3
)= r(α
1
,α
2
,α
3
,β)=2, (*) α
1
+2α
2
-3α
3
=0. (**) β=(k+2)α
1
+(2k-1)α
2
+(-3k+1) α
3
. (***) 由(**)式得α
3
=[*](α
1
+2α
2
),知α
1
,α
2
线性无关(若α
1
,α
2
线性相关,又α
3
=[*](α
1
+2α
2
),得r(α
1
,α
2
,α
3
)=1.这和(*)式矛盾).由(*)式知α
1
,α
2
是向量组α
1
,α
2
,α
3
及α
1
,α
2
,α
3
,β的极大线性无关组,从而有r(α
1
,α
2
)=r(α
1
,α
2
,β)=2,方程组(α
1
,α
2
)x=β有唯一解. 由(***)式取α
3
的系数-3k+1=0,即取[*],即(α
1
,α
2
)x=β的唯一解为[*].
解析
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考研数学二
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