2. 考研
  3. 设A3×3=(α1，α2，α3)，方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常数．证明： 方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；

设A3×3=(α1，α2，α3)，方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常数．证明： 方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；

admin2018-07-23  105
问题 设A3×3=(α1，α2，α3)，方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常数．证明：
方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；
选项
答案 由题设条件(α1，α2，α3)x=β有通解k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，知 r(α1，α2，α3)= r(α1，α2，α3，β)=2， (*) α1+2α2－3α3=0． (**) β=(k+2)α1+(2k－1)α2+(－3k+1) α3． (***) 由(**)式得α3 =[*](α1+2α2)，知α1，α2线性无关(若α1，α2线性相关，又α3 =[*](α1+2α2)，得r(α1，α2，α3)=1．这和(*)式矛盾)．由(*)式知α1，α2是向量组α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的极大线性无关组，从而有r(α1，α2)=r(α1，α2，β)=2，方程组(α1，α2)x=β有唯一解． 由(***)式取α3的系数－3k+1=0，即取[*]，即(α1，α2)x=β的唯一解为[*]．
解析
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考研数学二

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