设A3×3=(α1,α2,α3),方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1,2,-3)T+(2,-1,1)T,其中k是任意常数.证明: 方程组(α1,α2)x=β有唯一解,并求该解;

admin2018-07-23  38

问题 设A3×3=(α1,α2,α3),方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1,2,-3)T+(2,-1,1)T,其中k是任意常数.证明:
方程组(α1,α2)x=β有唯一解,并求该解;

选项

答案 由题设条件(α1,α2,α3)x=β有通解k(1,2,-3)T+(2,-1,1)T,知 r(α1,α2,α3)= r(α1,α2,α3,β)=2, (*) α1+2α2-3α3=0. (**) β=(k+2)α1+(2k-1)α2+(-3k+1) α3. (***) 由(**)式得α3 =[*](α1+2α2),知α1,α2线性无关(若α1,α2线性相关,又α3 =[*](α1+2α2),得r(α1,α2,α3)=1.这和(*)式矛盾).由(*)式知α1,α2是向量组α1,α2,α3及α1,α2,α3,β的极大线性无关组,从而有r(α1,α2)=r(α1,α2,β)=2,方程组(α1,α2)x=β有唯一解. 由(***)式取α3的系数-3k+1=0,即取[*],即(α1,α2)x=β的唯一解为[*].

解析
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