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已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求该微分方程.
已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求该微分方程.
admin
2021-01-19
67
问题
已知y
1
=xe
x
+e
2x
,y
2
=xe
x
+e
-x
,y
3
=xe
x
+e
2x
-e
-x
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求该微分方程.
选项
答案
设所求方程为y"+py’+qy=f(x),只需求出p,q,f(x)即可. 由线性方程解的性质,得y
1
-y
3
=e
-x
,(y
1
-y
2
)+(y
1
-y
3
)=e
2x
是对应的齐次方程y"+py’+qy=0的两个线性无关的解,所以 λ
1
=-1,λ
2
=2是特征方程λ
2
+pλ+q=0的根,由根与系数的关系,得P=-1,q=-2.将y
1
=xe
x
+e
2x
代入方程y"+Py’+qy=f(x),可得 f(x)=(1—2x)e
x
.所求方程为 y"-y’-2y=(1—2x)e.
解析
[分析] 由于二阶常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定,因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根,再由根与系数的关系确定特征方程,从而得到齐次微分方程.
[评注1] 对于二阶常系数线性齐次微分方程y"+py’+qy=0,函数Ae
αx
是其解的充要条件为λ=α是特征方程λ
2
+pλ+q=0的根;函数Aesinβx,Be
αx
cosβx,或e
αx
(Asinβx+Bcosβx)是其解的充要条件为λ=α土β是特征方程λ
2
+pλ+q=0的根.
[评注2] 对于本题,由于y
1
-y
3
=e
-x
,(y
1
-y
21
)+(y
1
-y
3
)=e
2x
是对应的齐次方程y"+py’+qy=0的两个线性无关的解,y
2
+(y
3
-y
1
)=xe
x
是对应的非齐次方程的一个特解,所以,所求方程的通解为y=C
1
e
2x
+C
2
e
-x
+xe
x
.
[评注3] 易求出y’=2C
1
e
2x
-C
2
e
-x
+xe
x
+e
x
,y"=4C
1
e
2x
+C
2
e
-x
+xe
x
+2e
x
,从y,y’,y"中消去C
2
,C
2
,即可得到所求的二阶方程为y"-y’-2y=(1—2x)e
x
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/G384777K
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考研数学二
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