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  3. 已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e－x，y3＝xex＋e2x－e－x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程．

已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e－x，y3＝xex＋e2x－e－x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程．

admin2021-01-19  101
问题 已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e－x，y3＝xex＋e2x－e－x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程．
选项
答案设所求方程为y"＋py’＋qy＝f(x)，只需求出p，q，f(x)即可． 由线性方程解的性质，得y1－y3＝e－x，(y1－y2)＋(y1－y3)＝e2x 是对应的齐次方程y"＋py’＋qy＝0的两个线性无关的解，所以 λ1＝－1，λ2＝2是特征方程λ2＋pλ＋q＝0的根，由根与系数的关系，得P＝－1，q＝－2．将y1＝xex＋e2x代入方程y"＋Py’＋qy＝f(x)，可得 f(x)＝(1—2x)ex．所求方程为 y"－y’－2y＝(1—2x)e．
解析 [分析]  由于二阶常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程．
    [评注1]  对于二阶常系数线性齐次微分方程y"＋py’＋qy＝0，函数Aeαx是其解的充要条件为λ＝α是特征方程λ2＋pλ＋q＝0的根；函数Aesinβx，Beαxcosβx，或eαx(Asinβx＋Bcosβx)是其解的充要条件为λ＝α土β是特征方程λ2＋pλ＋q＝0的根．
    [评注2]  对于本题，由于y1－y3＝e－x，(y1－y21)＋(y1－y3)＝e2x是对应的齐次方程y"＋py’＋qy＝0的两个线性无关的解，y2＋(y3－y1)＝xex是对应的非齐次方程的一个特解，所以，所求方程的通解为y＝C1e2x ＋C2e－x ＋xex ．
    [评注3]  易求出y’＝2C1e2x－C2e－x＋xex＋ex，y"＝4C1e2x＋C2e－x＋xex＋2ex，从y，y’，y"中消去C2，C2，即可得到所求的二阶方程为y"－y’－2y＝(1—2x)ex．
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考研数学二

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