已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e－x，y3＝xex＋e2x－e－x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程．

admin2021-01-19 70

问题已知y₁＝xe^x＋e^2x，y₂＝xe^x＋e^－x，y₃＝xe^x＋e^2x－e^－x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程．

选项

答案设所求方程为y"＋py’＋qy＝f(x)，只需求出p，q，f(x)即可．由线性方程解的性质，得y₁－y₃＝e^－x，(y₁－y₂)＋(y₁－y₃)＝e^2x 是对应的齐次方程y"＋py’＋qy＝0的两个线性无关的解，所以 λ₁＝－1，λ₂＝2是特征方程λ²＋pλ＋q＝0的根，由根与系数的关系，得P＝－1，q＝－2．将y₁＝xe^x＋e^2x代入方程y"＋Py’＋qy＝f(x)，可得 f(x)＝(1—2x)e^x．所求方程为 y"－y’－2y＝(1—2x)e．

解析 [分析]  由于二阶常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程．
[评注1]  对于二阶常系数线性齐次微分方程y"＋py’＋qy＝0，函数Ae^αx是其解的充要条件为λ＝α是特征方程λ²＋pλ＋q＝0的根；函数Aesinβx，Be^αxcosβx，或e^αx(Asinβx＋Bcosβx)是其解的充要条件为λ＝α土β是特征方程λ²＋pλ＋q＝0的根．
[评注2]  对于本题，由于y₁－y₃＝e^－x，(y₁－y₂₁)＋(y₁－y₃)＝e^2x是对应的齐次方程y"＋py’＋qy＝0的两个线性无关的解，y₂＋(y₃－y₁)＝xe^x是对应的非齐次方程的一个特解，所以，所求方程的通解为y＝C₁e^2x ＋C₂e^－x ＋xe^x ．
[评注3]  易求出y’＝2C₁e^2x－C₂e^－x＋xe^x＋e^x，y"＝4C₁e^2x＋C₂e^－x＋xe^x＋2e^x，从y，y’，y"中消去C₂，C₂，即可得到所求的二阶方程为y"－y’－2y＝(1—2x)e^x．

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考研数学二

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