设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是

admin2020-03-24 81

问题设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是

选项 A、如m＜n，则Ax=b有无穷多解．
B、如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．
C、如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．
D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．

答案C

解析如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．
如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以无解．
例如

前者只有零解，而后者无解．故(B)不正确．
关于(D)，Ax=b有唯一解

r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=n→r(A｜b)=n，例子同上．可见(D)只是必要条件，并不充分．(C)为何正确?除用排除法外，你如何证明．

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考研数学三

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