设A是m×n矩阵,则下列命题正确的是

admin2020-03-24  71

问题 设A是m×n矩阵,则下列命题正确的是

选项 A、如m<n,则Ax=b有无穷多解.
B、如Ax=0只有零解,则Ax=b有唯一解.
C、如A有n阶子式不为零,则Ax=0只有零解.
D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n.

答案C

解析 如m<n,齐次方程组Ax=0有无穷多解,而线性方程组可以无解,两者不要混淆,请举简单反例.
如Ax=0只有零解,则r(A)=n,但由r(A)=n推断不出r(A|b)=n,因此Ax=b可以无解.
例如

前者只有零解,而后者无解.故(B)不正确.
关于(D),Ax=b有唯一解    r(A)=r(A|b)=n.由于r(A)=n→r(A|b)=n,例子同上.可见(D)只是必要条件,并不充分.(C)为何正确?除用排除法外,你如何证明.
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