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  3. 设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是

设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是

admin2019-03-11  40
问题 设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是
选项 A、若f(x)为偶函数，则∫-aaf(x)dx≠0．
B、若f(x)为奇函数，则∫-aaf(x)dx≠2∫0af(x)dx．
C、若f(x)为非奇非偶函数，则∫-aaf(x)dx≠0．
D、若f(x)为以T为周期的周期函数，且是奇函数，则F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的周期函数．
答案D
解析 由于f(x)=0既是偶函数又是奇函数，且∫-aa0dx=0，所以不选A，B．
    若f(x)为非奇非偶函数，也可能有∫-aaf(x)dx=0．例如f(x)=在(一∞，+∞)上为非奇非偶函数，但∫-11f(x)dx=一∫-103x dx+∫011dx=0，因此不选C，由排除法应选D．
    事实上，利用“若f(x)为以T为周期的周期函数，则∫a+Tf(x)dx的值与a无关”与奇函数的积分性质可得，x有
    F(x+T)—F(x)=∫0x+T—F(x)=∫0x+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt=f(t)dt=0，
所以F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的周期函数．
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考研数学三

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