设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是

admin2019-03-11 75

问题设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是

选项 A、若f(x)为偶函数，则∫_-a^af(x)dx≠0．
B、若f(x)为奇函数，则∫_-a^af(x)dx≠2∫₀^af(x)dx．
C、若f(x)为非奇非偶函数，则∫_-a^af(x)dx≠0．
D、若f(x)为以T为周期的周期函数，且是奇函数，则F(x)=∫₀^xf(t)dt是以T为周期的周期函数．

答案D

解析由于f(x)=0既是偶函数又是奇函数，且∫_-a^a0dx=0，所以不选A，B．
若f(x)为非奇非偶函数，也可能有∫_-a^af(x)dx=0．例如f(x)=

在(一∞，+∞)上为非奇非偶函数，但∫_-1¹f(x)dx=一∫_-1⁰3x dx+∫₀¹1dx=0，因此不选C，由排除法应选D．
事实上，利用“若f(x)为以T为周期的周期函数，则∫^a+Tf(x)dx的值与a无关”与奇函数的积分性质可得，

x有
F(x+T)—F(x)=∫₀^x+T—F(x)=∫₀^x+Tf(t)dt—∫₀^xf(t)dt=∫_x^x+Tf(t)dt=

f(t)dt=0，
所以F(x)=∫₀^xf(t)dt是以T为周期的周期函数．

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考研数学三

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