设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是．F(x)在x=0处可导的 ( )

admin2020-03-01 30

问题设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是．F(x)在x=0处可导的 ( )

选项 A、充分必要条件．
B、充分条件但非必要条件．
C、必要条件但非充分条件．
D、既非充分条件也非必要条件．

答案A

解析令φ(x)=f(x)｜sinx｜，显然φ(0)=0．
由于

而由φ(x)在x=0处可导的充分必要条件是φ₊’(0)与φ₊’(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，则必有φ₊’(0)=φ₊’(0)；若φ₊’(0)=一f(0)，即有f(0)=一f(0)，从而f(0)=0．因此f(0)=0是φ(x)在x=0处可导的充分必要条件，也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件．故选A．

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