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计算二重积分其中积分区域D是由曲线以及直线x=2围成.
计算二重积分其中积分区域D是由曲线以及直线x=2围成.
admin
2014-02-05
58
问题
计算二重积分
其中积分区域D是由曲线
以及直线x=2围成.
选项
答案
【解法一】[*]积分区域D可表示为[*]如图,则有[*][*]而[*][*]代入即得所求二重积分[*] 【解法二】为简化计算将积分区域D表示为D=D
1
\D
2
,其中D
1
是上半圆域(x一2)
2
+y
2
≤4且y≥0中横坐标满足0≤x≤2的四分之一圆域,即D
1
={(x,y)}0≤x≤2,0≤y≤[*]},D
2
是上半圆域(x一1)
2
+y
2
≤1且y≥0,即D
2
={(x,y)10≤x≤2,0≤y≤[*]},从而[*]为了计算二重积分I
1
,I
2
简便起见,可分别在D
1
与D
2
上作适当的平移变换,而后再作极坐标变换.对于I
1
,令u=x一2,v=y[*]x=u+2,y=x,则D
1
变成D
1
’
={(u,u)|u
2
+v
2
≤4,v≥0,一2≤u≤0},令u=rcosθ,v=rsinθ,在极坐标系(r,θ)中D
1
’
={(r,θ)|[*]≤θ≤π,0≤r≤2},dσ=rdrdθ,故[*]对于I
2
,令u=x一1,v=y[*]x=u+1,y=v,则D
2
变成D
2
={(u,v)|u
2
+v
2
≤1,v≥0},令u=rcosθ,v=rsinθ,在极坐标系(r,θ)中D
2
’
={(r,θ)|0≤θ≤π,0≤r≤1},dσ=rdrdθ,由此可得[*]
解析
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