2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵P

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵P

admin2020-03-16  72
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
    Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3
(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值；
(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由题设条件，有 A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3) =(α1，α2，α3)[*] 所以，B=[*]. (Ⅱ)因为α1，α2，α3是线性无关的三维列向 量．可知矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以由AC=CB，得C-1AC=B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值． 由｜λE-B｜=[*]=(λ-1)2(λ-4)=0 得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=4． (Ⅲ)对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系 ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T； 对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系 ξ3=(0，1，1)T． 令矩阵 Q=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*] 则有 Q-1BQ=[*] 因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵 P=CQ=(α1，α2，α3)[*] =(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3) 则有P-1AP=Q-1BQ=diag(1，1，4)，为对角矩阵，故P为所求的可逆矩阵．
解析
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考研数学二

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