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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B; (Ⅱ)求矩阵A的特征值; (Ⅲ)求可逆矩阵P
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B; (Ⅱ)求矩阵A的特征值; (Ⅲ)求可逆矩阵P
admin
2020-03-16
60
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,且满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,α
3
=2α
2
+3α
3
(Ⅰ)求矩阵B,使得A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)B;
(Ⅱ)求矩阵A的特征值;
(Ⅲ)求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件,有 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
,2α
2
+α
3
,2α
2
+3α
3
) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 所以,B=[*]. (Ⅱ)因为α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向 量.可知矩阵C=(α
1
,α
2
,α
3
)可逆,所以由AC=CB,得C
-1
AC=B,即矩阵A与B相似.由此可得矩阵A与B有相同的特征值. 由|λE-B|=[*]=(λ-1)
2
(λ-4)=0 得矩阵B的特征值,也即矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=4. (Ⅲ)对应于λ
1
=λ
2
=1,解齐次线性方程组(E-B)X=0,得基础解系 ξ
1
=(-1,1,0)
T
,ξ
2
=(-2,0,1)
T
; 对应于λ
3
=4,解齐次线性方程组(4E-B)x=0,得基础解系 ξ
3
=(0,1,1)
T
. 令矩阵 Q=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*] 则有 Q
-1
BQ=[*] 因Q
-1
BQ=Q
-1
C
-1
ACQ=(CQ)
-1
A(CQ),记矩阵 P=CQ=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] =(-α
1
+α
2
,-2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
) 则有P
-1
AP=Q
-1
BQ=diag(1,1,4),为对角矩阵,故P为所求的可逆矩阵.
解析
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考研数学二
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