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[2018年] 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成,计算二重积分(x+2y)dxdy.
[2018年] 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成,计算二重积分(x+2y)dxdy.
admin
2019-05-10
51
问题
[2018年] 设平面区域D由曲线
(0≤t≤2π)与x轴围成,计算二重积分
(x+2y)dxdy.
选项
答案
设曲线的参数方程解定函数y=f(x),0≤x≤2π,积分区域D如下图所示,有 [*] [*](x+2y)dxdy=∫
0
2π
dx∫
0
f(x)
(x+2y)dy=∫
0
2π
(xy+y
2
)∣
0
f(x)
dx =∫
0
2π
{xf(x)+f
2
(x))dx. 由已知x=t—sint,y=1一cost代入上式可得 ∫
0
2π
{xf(x)+f
2
(x))dx=∫
0
2π
{(t一sint)(1一cost)+(1一cost)
2
}d(t—sint) =∫
0
2π
{(t一sint)(1一cost)
2
+(1一cost)
3
}dt =∫
0
2π
{t(1一cost)
2
一sint(1一cost)
2
+(1一cost)
3
)dt =∫
0
2π
t(1一cost)
2
dt—∫
0
2π
sint(1一cost)
2
dt+∫
0
2π
(1一cost)
3
dt. 令t=u+π,则上式可化为 ∫
-π
π
(u+π)(1+cosu)
2
du+∫
-π
π
sinu(1+cosu)
2
du+∫
-π
π
(1+cosu)
3
du =∫
-π
π
(1+cosu)
2
du+∫
-π
π
π(1+cosu)
2
du+∫
-π
π
sinu(1+cosu)
2
du+∫
-π
π
(1+cos)
3
du =∫
-π
π
(1+2cosu+cos
2
u)du+∫
-π
π
(1+3cosu+3cos
2
u+3cos
3
u)du =∫
-π
π
π(1+2cosu+[*])du+∫
-π
π
[1+3cosu+[*]+cosu(1一sin
2
u]du =3π
2
+5π+∫
-π
π
(1-sin
2
u)d(sinu)=3π
2
+5π, 其中,利用奇偶性可知, ∫
-π
π
u(1+cosu)
2
du=0,∫
-π
π
sinu(1+cosu)
2
du=0.
解析
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考研数学二
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