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  3. [2018年] 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分(x+2y)dxdy．

[2018年] 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分(x+2y)dxdy．

admin2019-05-10  49
问题 [2018年]  设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分(x+2y)dxdy．
选项
答案设曲线的参数方程解定函数y=f(x)，0≤x≤2π，积分区域D如下图所示，有 [*] [*](x+2y)dxdy=∫02πdx∫0f(x)(x+2y)dy=∫02π(xy+y2)∣0f(x)dx =∫02π{xf(x)+f2(x))dx． 由已知x=t—sint，y=1一cost代入上式可得 ∫02π{xf(x)+f2(x))dx=∫02π{(t一sint)(1一cost)+(1一cost)2}d(t—sint) =∫02π{(t一sint)(1一cost)2+(1一cost)3}dt =∫02π{t(1一cost)2一sint(1一cost)2+(1一cost)3)dt =∫02πt(1一cost)2dt—∫02πsint(1一cost)2dt+∫02π(1一cost)3dt． 令t=u+π，则上式可化为 ∫-ππ(u+π)(1+cosu)2du+∫-ππsinu(1+cosu)2du+∫-ππ(1+cosu)3du =∫-ππ(1+cosu)2du+∫-πππ(1+cosu)2du+∫-ππsinu(1+cosu)2du+∫-ππ(1+cos)3du =∫-ππ(1+2cosu+cos2u)du+∫-ππ(1+3cosu+3cos2u+3cos3u)du =∫-πππ(1+2cosu+[*])du+∫-ππ[1+3cosu+[*]+cosu(1一sin2u]du =3π2+5π+∫-ππ(1－sin2u)d(sinu)=3π2+5π， 其中，利用奇偶性可知， ∫-ππu(1+cosu)2du=0，∫-ππsinu(1+cosu)2du=0．
解析
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考研数学二

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