[2018年] 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分(x+2y)dxdy．

admin2019-05-10 69

问题 [2018年] 设平面区域D由曲线

(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分

(x+2y)dxdy．

选项

答案设曲线的参数方程解定函数y=f(x)，0≤x≤2π，积分区域D如下图所示，有 [*] [*](x+2y)dxdy=∫₀^2πdx∫₀^f(x)(x+2y)dy=∫₀^2π(xy+y²)∣₀^f(x)dx =∫₀^2π{xf(x)+f²(x))dx．由已知x=t—sint，y=1一cost代入上式可得 ∫₀^2π{xf(x)+f²(x))dx=∫₀^2π{(t一sint)(1一cost)+(1一cost)²}d(t—sint) =∫₀^2π{(t一sint)(1一cost)²+(1一cost)³}dt =∫₀^2π{t(1一cost)²一sint(1一cost)²+(1一cost)³)dt =∫₀^2πt(1一cost)²dt—∫₀^2πsint(1一cost)²dt+∫₀^2π(1一cost)³dt．令t=u+π，则上式可化为 ∫_-π^π(u+π)(1+cosu)²du+∫_-π^πsinu(1+cosu)²du+∫_-π^π(1+cosu)³du =∫_-π^π(1+cosu)²du+∫_-π^ππ(1+cosu)²du+∫_-π^πsinu(1+cosu)²du+∫_-π^π(1+cos)³du =∫_-π^π(1+2cosu+cos²u)du+∫_-π^π(1+3cosu+3cos²u+3cos³u)du =∫_-π^ππ(1+2cosu+[*])du+∫_-π^π[1+3cosu+[*]+cosu(1一sin²u]du =3π²+5π+∫_-π^π(1－sin²u)d(sinu)=3π²+5π，其中，利用奇偶性可知， ∫_-π^πu(1+cosu)²du=0，∫_-π^πsinu(1+cosu)²du=0．

解析

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考研数学二

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