2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

admin2018-07-27  56
问题 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．
选项
答案取齐次线性方程组 [*] 的基础解系ξ1，…，ξn－k，则可证明α1，…，αk，ξ1，…，ξn－k线性无关： 设λ1α1+…+λkαk+μ1ξ1+…+μn－kξn－k=0，两端左乘(λ1α1+…+λkαk)T，并利用αiTξj=0(i=1，…，k；j=1，…，n－k)，得(λ1α1+…+λkαk)T(λ1α1+…+λkαk)=0，即 ‖λ1α1+…λkαk‖=0，[*]λ1α1+…+λkαk=0，而α1，…，αk线性无关，[*]λ1=…=λk=0，[*]μ1ξ1+…+μn－kξn－k=0，又ξ1，…，ξn－k线性无关，[*]μ1=…=μn－k=0，于是证得 α1，…，αk，ξ1，…，ξn－k线性无关，令矩阵P=[α1…αkξ1…ξn－k]，则P为满秩方阵，且以α1，…，αk为其前k列．
解析
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考研数学三

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