设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f′(0)=2．证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]．

admin2019-09-27 9

问题设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f′(0)=2．
证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]．

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)－F(0)=F′(θx)x，即 ∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]．

解析

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考研数学一

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