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  3. A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

admin2018-09-25  56
问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明：
(1)aij=Aij<=>ATA=E，且｜A｜=1；
(2)aij=－Aij<=>ATA=E，且｜A｜=－1．
选项
答案(1)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=A*A=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij，不全为0，所以 [*] 而tr(AAT)=tr(｜A｜E)=N｜A｜，这说明｜A｜＞0，在 AAT=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n－2=1，于是｜A｜=1，故ATA=E． 反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij． (2)当aij=－Aij时，有AT=－A*，则ATA=－A*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以 [*] 在ATA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=1，故ATA=E． 反之，若ATA=E且｜A｜=－1，由于A*A=｜A｜E=－E，于是，ATA=－A*A．进一步，由于A可逆，得AT=－A*，即aij=－Aij．
解析
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考研数学一

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