A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

admin2018-09-25 35

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为｜A｜中元素a_ij的代数余子式，试证明：
(1)a_ij=A_ij<=>A^TA=E，且｜A｜=1；
(2)a_ij=－A_ij<=>A^TA=E，且｜A｜=－1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij，不全为0，所以 [*] 而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=N｜A｜，这说明｜A｜＞0，在 AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，于是｜A｜=1，故A^TA=E．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=－A_ij时，有A^T=－A^*，则A^TA=－A^*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以 [*] 在A^TA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=1，故A^TA=E．反之，若A^TA=E且｜A｜=－1，由于A^*A=｜A｜E=－E，于是，A^TA=－A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=－A^*，即a_ij=－A_ij．

解析

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考研数学一

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A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

考研数学一

设曲线积分∮L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2－2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数．(Ⅰ)若φ(0)=－2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)；(Ⅱ)计算沿

设L是平面上从圆周x2+y2=a2上一点到圆周x2+y2=b2上一点的一条光滑曲线(a＞0，b＞0)，r=则I=∫Lr3(xdx+ydy)=___________．

空间中两条直线l1：共面的充分必要条件是

设A是n阶矩阵，则｜(2A)*｜=

设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u′x(x，2x)=x2(即u′x(x，y)｜y=2x=x2)，求u″xx(x，2x)，u″xy(x，2x)，u″yy(x，2x)．

已知随机变量X的概率密度(Ⅰ)求分布函数F(x)；(Ⅱ)若令Y=F(X)，求Y的分布函数FY(y)．

设A是n阶实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A可逆．

已知线性方程组的通解是(2，1，0，3)T+k(1，一1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T，i=1，2，…，5．试问：(Ⅰ)α1能否由α2，α3，α4线性表出?(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．

求八分之一球面x2+y2+z2=R2，x≥0，y≥0，z≥0的边界曲线的质心，设曲线线密度ρ=1．

计算曲面积分x2zcosγdS，其中曲面∑是球面x2+y2+z2=a2的下半部分，γ是∑向上的法向量与z轴正向的夹角．

阅读《雨巷》中的一段诗句，回答问题。她是有丁香一样的颜色，丁香一样的芬芳，丁香一样的忧愁，在雨中哀怨，哀怨又彷徨；撑着油纸伞，独自彷徨在悠长，悠长又寂寥的雨

脑出血发病的主要原因是（）。

小儿惊风的特征性证候为

DiGeoge综合征的病因是

肾损伤下列哪种情况可能有血尿?()

对建设工程风险的识别来说,风险识别的结果是()。

贷款分类除了帮助识别贷款的外在风险以外，还有助于发现信贷管理、内部控制和信用文化中存在的问题，从而有利于银行改善信贷管理水平。()

根据我国《宪法》和法律的规定，()可以向全国人民代表大会提出法律案，由主席团决定是否列入会议议程，或由主席团先交专门委员会讨论后，然后主席团根据专门委员会的建议，再决定是否列入大会议程。

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A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

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计算曲面积分x2zcosγdS，其中曲面∑是球面x2+y2+z2=a2的下半部分，γ是∑向上的法向量与z轴正向的夹角．

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根据我国《宪法》和法律的规定，()可以向全国人民代表大会提出法律案，由主席团决定是否列入会议议程，或由主席团先交专门委员会讨论后，然后主席团根据专门委员会的建议，再决定是否列入大会议程。

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