设函数f(x)具有连续的二阶导数,并满足方程且f’(0)=0,求函数f(x)的表达式.

admin2017-05-31  30

问题 设函数f(x)具有连续的二阶导数,并满足方程且f’(0)=0,求函数f(x)的表达式.

选项

答案通过求导,将积分方程化为微分方程,得f’’(x)+5f’(x)+4f(x)=0,且满足条件f(0)=1,f’(0)=0,这是一个二阶常系数齐次线性微分方程. 因为特征方程为λ2+5λ+4=(λ+1)(λ+4)=0,所以特征值为λ1=一1,λ2=一4,从而微分方程的通解为 f(x)=c1e-x+c2e-4x,其中c1,c2为任意常数. 由条件f(0)=1,f’(0)=0 得[*] 于是,[*]

解析 本题主要考查将积分方程化为微分方程的方法,并用相应的方法求解.
条件f(0)=1一般由积分方程给出.
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