设f(x)在区间(－∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

admin2018-07-23 40

问题设f(x)在区间(－∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫₀^xf(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

选项 A、恒为正．
B、恒为负．
C、与x同号．
D、与x异号．

答案C

解析令x－t=u，作积分变量代换，得
f(x)=∫_x⁰sin(x－u)d(－u)+x=∫₀^xf(u) sin(x－u)d(－u)+x
=sinx∫₀^xf(u)cosudu－cosx∫₀^xf(u)sinudu+x，
fˊ(x)=cosx∫₀^xf(u)cosudu+sinx·cosx·f(x)+sinx∫₀^xf(u)sinudu－cosx·sinx·f(x)+1
= cosx∫₀^xf(u)cosudu+sinx∫₀^xf(u)sinudu+1，
f″(x)=－sinx∫₀^xf(u)cosudu+cos²·f(x)+ cosx∫₀^xf(u)sinudu+sin²·f(x)
=f(x)－f(x)+x，
所以