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设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续,且满足f(x)=∫0xf(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续,且满足f(x)=∫0xf(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
admin
2018-07-23
77
问题
设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续,且满足f(x)=∫
0
x
f(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
选项
A、恒为正.
B、恒为负.
C、与x同号.
D、与x异号.
答案
C
解析
令x-t=u,作积分变量代换,得
f(x)=∫
x
0
sin(x-u)d(-u)+x=∫
0
x
f(u) sin(x-u)d(-u)+x
=sinx∫
0
x
f(u)cosudu-cosx∫
0
x
f(u)sinudu+x,
fˊ(x)=cosx∫
0
x
f(u)cosudu+sinx·cosx·f(x)+sinx∫
0
x
f(u)sinudu-cosx·sinx·f(x)+1
= cosx∫
0
x
f(u)cosudu+sinx∫
0
x
f(u)sinudu+1,
f″(x)=-sinx∫
0
x
f(u)cosudu+cos
2
·f(x)+ cosx∫
0
x
f(u)sinudu+sin
2
·f(x)
=f(x)-f(x)+x,
所以
.又因f(0)=0,fˊ(0)=1,所以C
1
=1,所以C
2
=0.从而
[img][/img]
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0
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