2. 考研
  3. 设f(x)在区间(－∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

设f(x)在区间(－∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

admin2018-07-23  33
问题 设f(x)在区间(－∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞)上，当x≠0时，f(x)    (    )
选项 A、恒为正．
B、恒为负．
C、与x同号．
D、与x异号．
答案C
解析 令x－t=u，作积分变量代换，得
f(x)=∫x0sin(x－u)d(－u)+x=∫0xf(u) sin(x－u)d(－u)+x
=sinx∫0xf(u)cosudu－cosx∫0xf(u)sinudu+x，
fˊ(x)=cosx∫0xf(u)cosudu+sinx·cosx·f(x)+sinx∫0xf(u)sinudu－cosx·sinx·f(x)+1
= cosx∫0xf(u)cosudu+sinx∫0xf(u)sinudu+1，
f″(x)=－sinx∫0xf(u)cosudu+cos2·f(x)+ cosx∫0xf(u)sinudu+sin2·f(x)
=f(x)－f(x)+x，
所以．又因f(0)=0，fˊ(0)=1，所以C1=1，所以C2=0．从而[img][/img]
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考研数学二

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