设y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

admin2017-05-31 35

问题设y=y(x)是由方程2y³－2y²+2xy－x²=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

选项

答案(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y’(x)．将方程两边对x求导得 6y²y’－4yy’+2xy’+2y－2x=0，整理得 y’=[*] ① (Ⅱ)由y’(x)=0及原方程确定驻点．由y’(x)=0得y=x代入原方程得 2x³－2x²+2xx－x²=1，即 x³－x²+x³－1=0， (x－1)(2x²+x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y²－2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y²－2y+x)y’=x－y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y’(1)=0，y(1)=1，得 2y"(1)=1，y"(1)=[*]＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．

解析

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