设y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

admin2017-05-31 40

问题设y=y(x)是由方程2y³－2y²+2xy－x²=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

选项

答案(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y’(x)．将方程两边对x求导得 6y²y’－4yy’+2xy’+2y－2x=0，整理得 y’=[*] ① (Ⅱ)由y’(x)=0及原方程确定驻点．由y’(x)=0得y=x代入原方程得 2x³－2x²+2xx－x²=1，即 x³－x²+x³－1=0， (x－1)(2x²+x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y²－2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y²－2y+x)y’=x－y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y’(1)=0，y(1)=1，得 2y"(1)=1，y"(1)=[*]＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．

解析

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考研数学二

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设f(u,v)具有连续偏导数，且满足f’u(u,v)+f’v(u,v)=uv,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
设f(x)在区间(0,+∞)上连续，且的所有解，当x→+∞时都趋于k。
设f(x)为连续函数：若|f(x)|≤k(k为常数),证明：当x≥0时，有|y(x)|≤(1－e-ax）。
设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).
设二元函数f(x，y)=｜x-y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．
设函数x＝f(y)、反函数y＝f－1(x)及fˊ(f－1(x))，f〞(f－1(x))都存在，且fˊ(f－1(x))≠0，求证：
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