设A=求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

admin2022-04-07 28

问题设A=

求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

选项

答案|λE-A|=[*]=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ¹=1-a，λ₂=a，λ₃=1+a． (1)当1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠1/2时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ₁=1-a时，由[(1-a)E-a]X=0得ξ₁=[*] λ₂=a时，由(aE-A)X=0得ξ₂=[*] λ₃=1+a时，由[(1+a)E-A]X=0得ξ₃=[*] 令P=[*] (2)当a=0时，λ₁=λ₃=1，因为r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a=1/2时，λ₁=λ₃=1/2，因为r(1/2E-A)=2，所以方程组(1/2E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．

解析

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考研数学三

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设A=求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

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