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  3. 设A=求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

设A=求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

admin2022-04-07  103
问题 设A=求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．
选项
答案|λE-A|=[*]=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1-a，λ2=a，λ3=1+a． (1)当1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠1/2时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ1=1-a时，由[(1-a)E-a]X=0得ξ1=[*] λ2=a时，由(aE-A)X=0得ξ2=[*] λ3=1+a时，由[(1+a)E-A]X=0得ξ3=[*] 令P=[*] (2)当a=0时，λ1=λ3=1， 因为r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a=1/2时，λ1=λ3=1/2， 因为r(1/2E-A)=2，所以方程组(1/2E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．
解析
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考研数学三

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