已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12-y22-y32,又知矩阵B满足矩阵方程 BA-1=2AB+4E,且A*α=α, 其中α=[1,1,-1]T,A*为A的伴随矩阵,求此二次型XTBX的表达式.

admin2019-08-06  35

问题 已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12-y22-y32,又知矩阵B满足矩阵方程
BA-1=2AB+4E,且A*α=α,
其中α=[1,1,-1]T,A*为A的伴随矩阵,求此二次型XTBX的表达式.

选项

答案由条件知A的特征值为2,-1,-1,则|A|=2,因为A*的特征值为[*],所以A*的特征值为1,-2,-2.由已知,α是A*关于λ=1的特征向量,也就是α是A关于λ=2的特征向量. 由[*]得2ABA-1=2AB+4E=>B=2(E-A)-1,则B的特征值为-2,1.1,且Bα=-2α.设B关于λ=1的特征向量为β=[x1,x2,x3]T,又B是实对称阵,α与β正交,故x1+x2-x3=0,解出β1=[1,-1,0]T,β2=[1,0,1]T,令 [*] 故XTBX=-2x1x2+2x1x3+2x2x3

解析
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