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已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12-y22-y32,又知矩阵B满足矩阵方程 BA-1=2AB+4E,且A*α=α, 其中α=[1,1,-1]T,A*为A的伴随矩阵,求此二次型XTBX的表达式.
已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12-y22-y32,又知矩阵B满足矩阵方程 BA-1=2AB+4E,且A*α=α, 其中α=[1,1,-1]T,A*为A的伴随矩阵,求此二次型XTBX的表达式.
admin
2019-08-06
64
问题
已知三元二次型X
T
AX经正交变换化为2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,又知矩阵B满足矩阵方程
BA
-1
=2AB+4E,且A
*
α=α,
其中α=[1,1,-1]
T
,A
*
为A的伴随矩阵,求此二次型X
T
BX的表达式.
选项
答案
由条件知A的特征值为2,-1,-1,则|A|=2,因为A
*
的特征值为[*],所以A
*
的特征值为1,-2,-2.由已知,α是A
*
关于λ=1的特征向量,也就是α是A关于λ=2的特征向量. 由[*]得2ABA
-1
=2AB+4E=>B=2(E-A)
-1
,则B的特征值为-2,1.1,且Bα=-2α.设B关于λ=1的特征向量为β=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,又B是实对称阵,α与β正交,故x
1
+x
2
-x
3
=0,解出β
1
=[1,-1,0]
T
,β
2
=[1,0,1]
T
,令 [*] 故X
T
BX=-2x
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hwJ4777K
0
考研数学三
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