2. 考研
  3. 已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12－y22－y32，又知矩阵B满足矩阵方程 BA－1=2AB+4E，且A*α=α， 其中α=[1，1，－1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12－y22－y32，又知矩阵B满足矩阵方程 BA－1=2AB+4E，且A*α=α， 其中α=[1，1，－1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．

admin2019-08-06  71
问题 已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12－y22－y32，又知矩阵B满足矩阵方程
BA－1=2AB+4E，且A*α=α，
其中α=[1，1，－1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．
选项
答案由条件知A的特征值为2，－1，－1，则｜A｜=2，因为A*的特征值为[*]，所以A*的特征值为1，－2，－2．由已知，α是A*关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量． 由[*]得2ABA－1=2AB+4E=>B=2(E－A)－1，则B的特征值为－2，1．1，且Bα=－2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x1，x2，x3]T，又B是实对称阵，α与β正交，故x1+x2－x3=0，解出β1=[1，－1，0]T，β2=[1，0，1]T，令 [*] 故XTBX=－2x1x2+2x1x3+2x2x3．
解析
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考研数学三

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