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设n阶矩阵A的秩为1,试证: (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积; (2)存在常数μ,使得Ak=μk一1A.
设n阶矩阵A的秩为1,试证: (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积; (2)存在常数μ,使得Ak=μk一1A.
admin
2019-04-22
63
问题
设n阶矩阵A的秩为1,试证:
(1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积;
(2)存在常数μ,使得A
k
=μ
k一1
A.
选项
答案
(1)将A以列分块,则r(A)=r(α
1
,α
2
,…,α
n
)=1表明列向量组α
1
,α
2
,…,α
n
的极大线性无关组有一个非零向量组成,设为α
i
=[α
1
,α
2
,…,α
n
]
T
(≠0),其余列向量均可由α
i
线性表出,设为α
j
=b
j
α
i
(j=1,2,…,n,j=i时,取b
i
=1),则 A=[α
1
,α
2
,…,α
n
]=[b
1
α
1
,b
2
α
2
,…,b
n
α
s
]=α
i
[b
1
,b
2
,…,b
s
]=[*][b
1
,b
2
,…,b
s
]。 (2)记α=α
i
=[a
1
,a
2
,…,a
s
]
T
,β=[b
1
,b
2
,…,b
s
]
T
,则 A=αβ
T
,A
k
=(αβ
T
)
k
=(αβ
T
)(αβ
T
)…(αβ
T
)=α(β
T
α)(β
T
α)…(β
T
α)β
T
. 记β
T
α=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=μ,则 A
k
=αμ
k一1
β
T
=μ
k一1
A.
解析
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