设n阶矩阵A的秩为1,试证: (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积; (2)存在常数μ,使得Ak=μk一1A.

admin2019-04-22  35

问题 设n阶矩阵A的秩为1,试证:
    (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积;
    (2)存在常数μ,使得Akk一1A.

选项

答案(1)将A以列分块,则r(A)=r(α1,α2,…,αn)=1表明列向量组α1,α2,…,αn的极大线性无关组有一个非零向量组成,设为αi=[α1,α2,…,αn]T(≠0),其余列向量均可由αi线性表出,设为αj=bjαi(j=1,2,…,n,j=i时,取bi=1),则 A=[α1,α2,…,αn]=[b1α1,b2α2,…,bnαs]=αi[b1,b2,…,bs]=[*][b1,b2,…,bs]。 (2)记α=αi=[a1,a2,…,as]T,β=[b1,b2,…,bs]T,则 A=αβT,Ak=(αβT)k=(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT. 记βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=μ,则 Ak=αμk一1βTk一1A.

解析
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