2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0,1]可导，f(0)=0,0＜f’(x)≤1,试证： (∫01f(x)dx)2≥∫01f3(x)dx.

设f(x)在区间[0,1]可导，f(0)=0,0＜f’(x)≤1,试证： (∫01f(x)dx)2≥∫01f3(x)dx.

admin2022-10-08  56
问题 设f(x)在区间[0,1]可导，f(0)=0,0＜f’(x)≤1,试证：
(∫01f(x)dx)2≥∫01f3(x)dx.
选项
答案作辅助函数ψ(x)=(∫0xf(t)dt)2－∫0xf3(t)dt,则 ψ’(x)=2f(x)∫0xf(t)dt－f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)] 因为f(0)=0,f’(x)＞0,所以f(x)＞0,令g(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x),则 g’(x)=2f(x)－2f(x)f’(x)=2f(x)[1－f’(x)] 因为0＜f’(x)≤1,所以g’(x)≥0；当x＞0时，g(x)单调递增，即g(x)≥0,从而得到ψ’(x)≥0,ψ(x)单调递增，ψ(1)≥ψ(0). （∫01f(t)dt)2－∫01f3(t)dt≥0 所以(∫01f(x)dx)2≥∫01f3(t)dx。
解析
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考研数学三

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