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设f(x)在区间[0,1]可导,f(0)=0,0<f’(x)≤1,试证: (∫01f(x)dx)2≥∫01f3(x)dx.
设f(x)在区间[0,1]可导,f(0)=0,0<f’(x)≤1,试证: (∫01f(x)dx)2≥∫01f3(x)dx.
admin
2022-10-08
32
问题
设f(x)在区间[0,1]可导,f(0)=0,0<f’(x)≤1,试证:
(∫
0
1
f(x)dx)
2
≥∫
0
1
f
3
(x)dx.
选项
答案
作辅助函数ψ(x)=(∫
0
x
f(t)dt)
2
-∫
0
x
f
3
(t)dt,则 ψ’(x)=2f(x)∫
0
x
f(t)dt-f
3
(x)=f(x)[2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x)] 因为f(0)=0,f’(x)>0,所以f(x)>0,令g(x)=2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x),则 g’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x)=2f(x)[1-f’(x)] 因为0<f’(x)≤1,所以g’(x)≥0;当x>0时,g(x)单调递增,即g(x)≥0,从而得到ψ’(x)≥0,ψ(x)单调递增,ψ(1)≥ψ(0). (∫
0
1
f(t)dt)
2
-∫
0
1
f
3
(t)dt≥0 所以(∫
0
1
f(x)dx)
2
≥∫
0
1
f
3
(t)dx。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/H4R4777K
0
考研数学三
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