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(Ⅰ)证明:当x>0时,2ex>x2+2x+2; (Ⅱ)设方程在(0,+∞)内有解,求a的取值范围.
(Ⅰ)证明:当x>0时,2ex>x2+2x+2; (Ⅱ)设方程在(0,+∞)内有解,求a的取值范围.
admin
2021-03-10
47
问题
(Ⅰ)证明:当x>0时,2e
x
>x
2
+2x+2;
(Ⅱ)设方程
在(0,+∞)内有解,求a的取值范围.
选项
答案
(Ⅰ)令[*](x)=2e
x
-x
2
-2x-2,[*](0)=0, [*](x)=2e
x
-2x-2,[*](0)=0, [*](x)=2(e
x
-1)>0(x>0), 由[*]得[*](x)>0(x>0), 由[*]得[*](x)>0(x>0). 故2e
x
>x
2
+2x+2. (Ⅱ)令 [*] 显然x
2
(e
x
-1)
2
>0(x>0), 今h(x)=x
2
e
x
-(e
x
-1)
2
,h(0)=0, h’(x)=2xe
x
+x
2
e
x
-2(e
x
-1)e
x
=e
x
(x
2
+2x-2e
x
+2)<0(x>0), 由[*]得h(x)<0(x>0), 故f’(x)<0(x>0),即f(x)在(0,+∞)内单调递减, 再由[*]得a的取值范围为[*]
解析
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考研数学二
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