设f(x)连续，证明：∫0x[∫01f(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．

admin2022-10-25 19

问题设f(x)连续，证明：∫₀^x[∫₀¹f(u)du]dt=∫₀^xf(t)(x-t)dt．

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt，则F’(x)=f(x)，于是∫₀^x[∫₀^tf(u)du]dt=∫₀^xF(t)dt，∫₀^xf(t)(x-t)dt=x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt=xF(x)-∫₀^xtdF(t)=xF(x)-tF(t)｜₀^x+∫₀^xF(t)dt=∫₀^xF(t)dt．命题得证．

解析

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考研数学三

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