2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＞0，f(0)＜0， 证明：对任意常数λ，存在ξ∈(0，1)，使得．

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＞0，f(0)＜0， 证明：对任意常数λ，存在ξ∈(0，1)，使得．

admin2020-10-30  41
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＞0，f(0)＜0，
  证明：对任意常数λ，存在ξ∈(0，1)，使得．
选项
答案因为f(0)f(1)＞0，不妨假设f(0)＞0，f(1)＞0，又f(0)[*]，所以[*]． f(x)在[*]上连续，[*]，由零点定理，存在ξ1∈[*]，使得f(ξ1)＝0．f(x)在[*]上连续，[*]，由零点定理，存在ξ2∈[*]，使得f(ξ2)＝0．令F(x)＝f(x)e－λx，F’(x)＝[f’(x)－λf(x)]eλx，F(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，F(ξ1)＝F(ξ1)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ1)[*](0，1)，使得F’(ξ)＝［f’(ξ)－λf(ξ)]e－λξ＝0，所以f’(ξ)－λf(ξ)＝0，即[*]
解析
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考研数学三

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