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[2005年] 当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x一a恰好有两个不同的零点?( )
[2005年] 当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x一a恰好有两个不同的零点?( )
admin
2019-03-30
100
问题
[2005年] 当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x
3
-9x
2
+12x一a恰好有两个不同的零点?( )
选项
A、2
B、4
C、6
D、8
答案
B
解析
解一 仅(B)入选.利用命题1.2.3.8求之.为此先求出可能的极值点,证明f(x)恰好有一个极值等于0.事实上,由
f’(x)=6x
2
-18x+12=6(x-1)(x-2)
知,可能的极值点为x
1
=1,x
2
=2,而f(1)=5-a,f(2)=4-a.又
f"(x)=12x-18, f"(1)=-6<0, f"(2)=6>0.
因而x=1是f(x)的极大值点,x=2为f(x)的极小值点.极大值、极小值分别为f(1)=5-a,f(2)=4-a.由命题1.2.3.8知,当两个极值有一个为零时,函数方程f(x)=2x
3
-9x
2
+12x-a=0恰有两个不同的实根.可见,当a=4(或a=5)时,函数f(x)恰有两个不同的实根.
解二 当a=4时,f(1)=1,f(2)=0,即x=2为f(x)的一个零点.由f’(x)=6(x-1)(x-2)知,当-∞<x<1时,f’(x)>0,f(x)单调增加,而f(1)=1>0,
故f(x)在(-∞,1)内有唯一零点.当1<x<2时,f’(x)<0,f(x)单调减少,又f(2)=0,则当l<x<2时,f(x)>0,此区间内无零点.当x>2时,f’(x)>0,f(2)=0,故f(x)>0,即在此区间内无零点.仅(B)入选.
解三 由解一知,f(1)=5-a,f(2)=4-a分别为f(x)的极大值M和极小值m.当a=4时,M=f(1)=1>0,而当a=5时,m=f’(2)=4-5=-1<0.由命题1.2.3.7(3)知,f(x)只有两个实根.仅(B)入选.
注:命题1.2.3.7(3)当m<0(或M>0)时,在[a,b]上f(x)与x轴只有两个交点,即f(x)=0在[a,b]上只有两个实根.
命题1.2.3.8 对于三次多项式函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d,当两个极值同号时,函数方程f(x)=0只有一个实根,当两个极值异号时,函数方程f(x)=0有三个实根;当两个极值有一个为零时,函数方程f(x)=0只有两个不同的实根.
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考研数学三
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