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  3. [2005年] 当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3－9x2+12x一a恰好有两个不同的零点?( )

[2005年] 当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3－9x2+12x一a恰好有两个不同的零点?( )

admin2019-03-30  98
问题 [2005年]  当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3－9x2+12x一a恰好有两个不同的零点?(    )
选项 A、2
B、4
C、6
D、8
答案B
解析 解一  仅(B)入选．利用命题1．2．3．8求之．为此先求出可能的极值点，证明f(x)恰好有一个极值等于0．事实上，由
                f’(x)=6x2－18x+12=6(x－1)(x－2)
知，可能的极值点为x1=1，x2=2，而f(1)=5－a，f(2)=4-a．又
                    f"(x)=12x－18，  f"(1)=－6＜0，  f"(2)=6＞0．
因而x=1是f(x)的极大值点，x=2为f(x)的极小值点．极大值、极小值分别为f(1)=5－a，f(2)=4－a．由命题1．2．3．8知，当两个极值有一个为零时，函数方程f(x)=2x3－9x2+12x－a=0恰有两个不同的实根．可见，当a=4(或a=5)时，函数f(x)恰有两个不同的实根．
    解二  当a=4时，f(1)=1，f(2)=0，即x=2为f(x)的一个零点．由f’(x)=6(x－1)(x－2)知，当－∞＜x＜1时，f’(x)＞0，f(x)单调增加，而f(1)=1＞0，故f(x)在(－∞，1)内有唯一零点．当1＜x＜2时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，又f(2)=0，则当l＜x＜2时，f(x)＞0，此区间内无零点．当x＞2时，f’(x)＞0，f(2)=0，故f(x)＞0，即在此区间内无零点．仅(B)入选．
    解三  由解一知，f(1)=5－a，f(2)=4－a分别为f(x)的极大值M和极小值m．当a=4时，M=f(1)=1＞0，而当a=5时，m=f’(2)=4-5=－1＜0．由命题1．2．3．7(3)知，f(x)只有两个实根．仅(B)入选．
    注：命题1．2．3．7(3)当m＜0(或M＞0)时，在[a，b]上f(x)与x轴只有两个交点，即f(x)=0在[a，b]上只有两个实根．
        命题1．2．3．8  对于三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，当两个极值同号时，函数方程f(x)=0只有一个实根，当两个极值异号时，函数方程f(x)=0有三个实根；当两个极值有一个为零时，函数方程f(x)=0只有两个不同的实根．
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考研数学三

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