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  3. 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。

admin2021-01-25  99
问题 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。
选项
答案方法一：BT=(λE+ATA)T=λET+(ATA)T=λE+AT(AT)T=λE+ATA=B，根据实对称矩阵的定义，故B是实对称矩阵。对任意的非零向量x，xTAT=(Ax)T，有 xT(λE+ATA)x=xT(λE)x+xT(ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)TAx， 因x≠0，故有xTx＞0。(设x=(a1，a2，…，an)T≠0，则ai，i=1，2，…，n中至少有一个不为零，则ai2，i=1，2，…，n中至少有一个大于零，故xTx=[*]a2＞0)。 (Ax)TAx≥0(设Ax=(b1，b2，…，bn)T，(Ax)TAx=[*]bi2≥0， 因为Ax有可能为零，即有可能bi=0，i=1，2，…，n，故这里可能取等号。) 故当λ＞0时，λxTx＞0。对任意的x≠0，均有 xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+(Ax)TAx＞0， 由正定矩阵的定义，B是正定矩阵。 方法二：B正定→B的全部特征值大于零。设B有特征值μ，对应的特征向量为ξ，由特征值和特征向量的定义，Bξ=μξ，将B=λE+ATA代入，得 (λE+ATA)ξ=μξ，其中ξ≠0， 上式两边左乘ξT，得 ξT(λE+ATA)ξ=λξTξ+ξTATAg=λξTξ+(Aξ)T(Aξ)=μξTξ， 变形得 (Aξ)T(Aξ)=(μ—λ)ξTξ。 因ξ≠0，设ξ=(c1，c2，…，cn)T≠0，则ci，i=1，2，…，n中至少有一个不为零，则ci2，i=1，2，…，n中至少有一个大于零，故 ξTξ=[*]ci2＞0，(Aξ)T(Aξ)≥0(设Aξ=(d1，d2，…，dn)T，(Aξ)TAξ=[*]di2≥0， 因为Aξ有可能为零，即有可能di=0，i=1，2，…，n，故这里可能取等号。)故 [*] 所以，当λ＞0时，有μ≥λ＞0，故知N的特征值μ全部大于零，B是正定矩阵。
解析
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考研数学三

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