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非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( ).
非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( ).
admin
2019-01-06
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问题
非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( ).
选项
A、r=m时,方程组AX=b有解
B、r=n时,方程组AX=b有唯一解
C、m=n时,方程组AX=b有唯一解
D、r<n时,方程组AX=b有无穷多解
答案
A
解析
解一 因A为m×n矩阵,若秩(A)=m,则m=秩(A)≤秩([A|b])≤m,于是秩(A)-秩([A|b])=m,故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解.仅(A)入选.
解二 由秩(A)=m知,A的行向量组线性无关,其延伸向量组必线性无关,故增广矩阵[A|b]的m个行向量也线性无关,故秩(A)=秩([A|b])=秩(A)=m,所以仅(A)入选.
解三 因选项(B)、(C)、(D)中均不能保证秩(A)=秩([A|b]),因而都不能保证方程组有解,更谈不上是唯一解或无穷多解.
上例选项(A)中的结论可写成如下命题的形式,可直接使用.
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考研数学三
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