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  3. 设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )

设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )

admin2016-05-09  49
问题 设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是(    )
选项 A、A的任意m个列向量必线性无关．
B、A的任意一个m阶子式不等于零．
C、A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式．
D、非齐次线性方程组Aχ＝b一定有无穷多解．
答案D
解析 选项A、B显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确．对于矩阵A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(ImO)的，故C也不正确，故选D．
    事实上，由于A有m行且r(A)＝m＜n，因此r(Ab)≥r(A)＝m．又
    r(Ab)≤min{m，n＋1}＝m，
    故r(Ab)＝r(A)＝m＜n，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解．所以选项D正确．
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考研数学一

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