设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第一列为，求a，Q

admin2020-09-25 82

问题设A=

，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵．若Q的第一列为

，求a，Q

选项

答案由A是实对称矩阵知，Q的第一列[*]为A的一个特征向量，于是[*]，解得a=一1，λ₁=2．则A的特征多项式为|λE一A|=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，所以A的特征值为λ₁=2，λ₂=5，λ₃=一4．属于λ₁=2的单位特征向量为[*]属于λ₂=5的单位特征向量为[*] 属于λ₃=一4的单位特征向量为[*] 取Q=[*]，则Q是正交矩阵，且Q^TAQ=[*]

解析

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