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求下列三重积分: (Ⅰ)I=xy2z3dV,其中Ω是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成的区域; (Ⅱ)I=,y=0,z=0,x+z=围成; (Ⅲ)I=(1+x4)dV,其中Ω由曲面x2=y2+z2,x=1,x=2围成.
求下列三重积分: (Ⅰ)I=xy2z3dV,其中Ω是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成的区域; (Ⅱ)I=,y=0,z=0,x+z=围成; (Ⅲ)I=(1+x4)dV,其中Ω由曲面x2=y2+z2,x=1,x=2围成.
admin
2018-11-21
42
问题
求下列三重积分:
(Ⅰ)I=
xy
2
z
3
dV,其中Ω是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成的区域;
(Ⅱ)I=
,y=0,z=0,x+z=
围成;
(Ⅲ)I=
(1+x
4
)dV,其中Ω由曲面x
2
=y
2
+z
2
,x=1,x=2围成.
选项
答案
(Ⅰ)空间区域Ω的图形不太直观,但是,它在xOy半回上的投影区域D
xy
为由y=0,y=x及x=1所围成的三角形,即图9.54所示,并且Ω的下侧边界是z=0,上侧边界为z=xy.这些条件对确定积分限已足够.Ω={(x,y,z)|0≤z≤xy,(x,y)∈D,y},D
xy
:0≤x≤1,0≤y≤x. [*]dxdy∫
0
xy
xy
2
z
3
dz=∫
0
1
xdx∫
0
x
y
2
dy∫
0
xy
z
3
dz =[*]∫
0
1
xdx∫
0
x
y
2
z
4
|
0
xy
dy =[*]∫
0
1
x
5
dx∫
0
x
y
6
dy=[*]. (Ⅱ)Ω是柱形长条区域,上顶是平面x+z=[*],下底是Oxy平面,即z=0,侧面是柱面y=0,y=[*]与Oxy平面交于直线x=[*],于是 Ω={(x,y,z)|0≤z≤[*]一x,(x,y)∈D
xy
},D
xy
如图9.55. 也可看成Ω={(x,y,z)|0≤y≤[*],(x,y)∈D
xy
}.注意y=[*]与Ozx平面交于x=0,D
xy
如图9.56.因此有 [*] (Ⅲ)Ω是锥体(顶点是原点,对称轴是x轴)被平面x=1,x=2所截部分,被积函数只与x有关,x∈[1,2],与x轴垂直平面截Ω得圆域D(x),半径为x,面积为πx
2
,于是用先二后一(先yz后x)的积分顺序得 I=∫
1
2
dx[*](1+x
4
)dydz=∫
1
2
(1+x
4
)πx
2
dx =[*]
解析
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0
考研数学一
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