2. 考研
  3. [2007年] 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B

[2007年] 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B

admin2019-06-09  56
问题 [2007年]  设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案 由A为实对称矩阵推出B也为实对称矩阵，所给特征向量不完整，需用实对称矩阵的性质求出A的所有特征向量．再利用相似对角化，求出矩阵B． (Ⅰ)令f(x)=x5一4x3+1，则B=f(A)=A5一4A3+E．因A的特征值为λ1=1， λ2=2，λ3=一2，故B=f(A)的三个特征值分别为 μ1=f(λ1)=f(1)=一2，μ2=f(λ2)=f(2)=l，μ3=f(λ3)=f(一2)=1． 由Aα1=λ1α1=α1，得到 A251=A4Aα1=A4α1=…=Aα1=α1，A3α1=A2Aα1=A2α1=AAα1=Aα1=α1， 故 βα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=α1－4α1+α1=一2α1， 即B的属于特征值μ1=f(λ1)=f(1)=一2的一个特征向量为α1(与A的属于特征值λ1=1,的特征向量α1相同)。所以B的属于特征值μ1=一2的全部特征向量为k1α1，其中k1为非零的常数． 一般有矩阵A的属于特征值λi的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λi)的特征向量相同，故为求B的特征向量只需求出A的特征向量． 设A的属于A的特征向量为α2=[x1，x2，x3]T，则因λ1≠λ2，故α2与α1正交．于是有 α1Tα2=[1,一1,1][*]=x1一x2+x3=0． 由2E—A=[*]即得A的属于特征值λ2=2的特征向量为 α2=[1，1，0]T，α3=[一1,0,1]T． 故B的属于特征值μ2=f(λ2)=f(2)=1的线性无关的特征向量为α2=[1，l，0]T，α3=[－1．0．0]T． 所以B的属于二特征值λ2=l的全部特征向量为k2α2+k3α3其中k2，k3足不全为零的常数． (II)解 令P=[α1，α2，α3]=[*]．则P-1BP=diag(－2，1，1)．于是 B=Pdiag(一2，1，1)P-1=[*] =[*]
解析
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考研数学二

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