2. 考研
  3. [2012年] 设α为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—ααT的秩为__________．

[2012年] 设α为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—ααT的秩为__________．

admin2019-05-10  21
问题 [2012年]  设α为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—ααT的秩为__________．
选项
答案矩阵E一ααT为实对称矩阵可相似对角化，其相似对角矩阵的秩即为E—ααT的秩，为此求出E一ααT的非零特征值的个数即可．又因题中结论对任意三维单位向量成立，特别对α=[1，0，0]T特殊的单位向量也成立，由此也可求得E一ααT的秩． 解一 因秩(ααT)=1，由命题2．5．1．5知其特征值为1，0，0，则E—ααT的特征值为0，1，1． 又因[E一ααT]T=E一ααT，故E一ααT为实对称矩阵必可相似对角化，即 E一ααT～[*]， 秩(E一ααT)=秩[*]=2． 解二 令α=[0，0，1]T，则ααT=[*]，于是 E一ααT=[*]， 秩(E—ααT)=2．
解析
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考研数学二

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