[2012年] 设α为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—ααT的秩为__________．

admin2019-05-10 64

问题 [2012年] 设α为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—αα^T的秩为__________．

选项

答案矩阵E一αα^T为实对称矩阵可相似对角化，其相似对角矩阵的秩即为E—ααT的秩，为此求出E一ααT的非零特征值的个数即可．又因题中结论对任意三维单位向量成立，特别对α=[1，0，0]^T特殊的单位向量也成立，由此也可求得E一αα^T的秩．解一因秩(αα^T)=1，由命题2．5．1．5知其特征值为1，0，0，则E—αα^T的特征值为0，1，1．又因[E一αα^T]^T=E一αα^T，故E一αα^T为实对称矩阵必可相似对角化，即 E一αα^T～[*]，秩(E一αα^T)=秩[*]=2．解二令α=[0，0，1]^T，则αα^T=[*]，于是 E一αα^T=[*]，秩(E—αα^T)=2．

解析

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考研数学二

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