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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c,f(c))(其中a<c<b).证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c,f(c))(其中a<c<b).证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.
admin
2021-10-18
83
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c,f(c))(其中a<c<b).证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.
选项
答案
由微分中值定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得f’(ξ
1
)=[f(c)-f(a)]/(c-a),f’(ξ
2
)=[f(b)-f(c)]/(b-c),因为点A,B,C共线,所以f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
),又因为f(x)二阶可导,所以再由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)∈(a,b),使得f"(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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