设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．

admin2019-08-12 52

问题设向量组α₁，…，α_n为两两正交的非零向量组，证明：α₁，…，α_n线性无关，举例说明逆命题不成立．

选项

答案令k₁α₁+…+k_nα_n=0，由α₁，…，α_n两两正交及(α₁，k₁α₁+…+k_nα_n)=0，得 k₁(α₁α₁)=0，而(α₁α₁)=｜α₁｜²＞0，于是k₁=0，同理可证k₂=…=k_n=0，故α₁，…，α_n线性无关．令α₁=[*]，α₂=[*]，显然α₁，α₂线性无关，但α₁，α₂不正交．

解析

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